TEMA N°8: "Probabilidad"

PROBABILIDAD

   

TEMA N°7: "Trigonometría"

                       

TEMA N°6: "Funciones exponenciales"

FUNCIONES EXPONENCIALES

Ejemplos

x	y = 2x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = (½)x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

TEMA N°5: "Funciones racionales"

FUNCIONES RACIONALES

• Es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios.
• Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.
• A medida que aumenta el factor que multiplica a x, la gráfica va aumentando hacia arriba. crecen hacia arriba respecto a la superficie.

TEMA N°4: "Función cuadrática"

                    

Vértice
Es el punto donde la parábola alcanza su máximo o su mínimo.

El vértice de la parábola corresponde al máximo o mínimo de la función

La coordenada X (horizontal) del vértice se obtiene con la siguiente ecuación:

La coordenada Y (vertical) del vértice se obtiene sustituyendo la coordenada x calculada con la expresión anterior y sustituyéndola en la función de la parábola correspondiente.

Eje de simetría
La recta vertical que parte la parábola en dos mitades simétricas y pasa por el vértice.

Por ejemplo, el vértice de la parabola y = x² – 2x -3 es

Vértice y eje de simetría de la parábola

Raíces
Las raíces son los puntos donde la parábola corta el eje horizontal.

Una parábola puede tener 2 raíces, una raíz o ninguna. En otras palabras, la función puede cortar el eje “x” en dos puntos, un punto o no cortarla como lo ilustra la figura:

Las raíces de una parábola

Las raíces se obtienen igualando la función a cero y resolviendo para “x”.

ax² + bx + c = 0

En donde la solución general para cualquier ecuación de segundo grado está dado por:

Por ejemplo, las raíces de la parabola y = x² – 2x -3 son:

a = 1; b = -2; c = -3 

X₁ = -1 ; X₂ = 3

ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA

PARA LA ECUACIÓN CANÓNICA: 

La podemos resolver de dos maneras

cuadrado del binomio                                               o                             propiedad distributiva 

 

                                                        (x+3)2=   (x+3) . (x+3)

                                                                       x2+3x+3x+9

                                                                       x2+6x+9

ECUACION CANONICA A POLINOMICA

Por ejemplo:

f(x) = a(x-h)^2 + k

primero desarrollarás el cuadrado del binomio

f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k

y luego efectúas el paréntesis

f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k.

Por ejemplo:

f(x) = 2(x-3)^2 + 5

f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) +5

f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 5

f(x) = 2x^2 - 12x + 23

TEMA N°3: "Funcion lineal"

• La grafica de una funcion lineal esta formada por puntos alineados.
• El coeficiente m es la pendiente y la representa cuanto varia f(x) por cada unidad que aumenta x.
• el coeficiente b es la ordenada al origen, o sea el punto en que la grafica corta al eje y.

Ejemplo: f(x)= 1 x +3 

                         2

                    a= 1

                         2 
                    b= 3

• El valor de la pendiente determina que una fuencion sea creciente, decreciente o constante.
• cero o raiz de la funcion es el corte de la grafica con el eje x.
• Para averiguar la raiz: 

Raiz (igualar la funcion a 0)

1 x +3=0

2

1 x = -3

2

x= -3: 1 

           2

x= -6

• Para igualar la pendiente(si se conocen dos puntos) :

Dados dos puntos (x1,y1) ; (x2,y2)

a= y2-y1

     x2-x1

• Ecuacion de la recta:

Dados los puntos (-2,4)    y   (1,5) hallar la ecuacion de la recta.

                               ↓  ↘y1      ↓   ↘ y2

                             x1             x2

a= 5-4=   1

    1-(-2)  3

y= a.x+b

5= 1.1+b 

     3

5=1+b 

   3

5-1=b 

   3

14=b

 3

• Perpendicularidad y paralelismo

rectas paralelas: si sus pendientes son iguales.

rectas perpendiculares: si sus pendientes son opuestas e inversas.

TEMA N°1: "Clasificación numérica"

                CONJUNTOS NUMÉRICOS

Los números naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Los números enteros

Los números enteros son del tipo:

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Los números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589...

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

TEMA N°2: Sucesiones.

Sucesiones: concepto, termino general, tipos.

• Sucesión

 Una sucesión es un conjunto de números reales, cada número es denominado termino, cada sucesión tiene un primer termino y a cada termino le sigue otro termino.

• Termino general 

Nos da el valor de cualquier termino acorde a la posición que ocupa. se escribe como "an".

Primero termino: a1

Ejemplo: hallar los 6 primeros términos y la suma de estos.

an	3.n+1	n/n+1
a1	4	1/2
a2	7	2/3
a3	10	3/4
a4	13	4/5
a5	16	5/6
a6	19	6/7
suma	69

• Tipos de sucesiones numéricas: aritméticas y geométricas. 

Aritméticas: son simples, la diferencia entre un término "x" y el siguiente siempre va a ser constante, esto quiere decir que a medida que van siguiendo los términos se van sumando o restando una constante que se la llama RAZÓN.

El término general se haya con la siguiente formula:
         
             AN: A1+R.(N-1)
r: razón
a1: 1° término
n: n° término

Para calcular la suma de los primeros "n" términos se utiliza la formula:

     Sn: (a1+an).n
               2


Por ejemplo: hallar el término general de las siguientes sucesiones.

3,6,9,12    

Lo podemos resolver con la fórmula antes nombrada de término general an=a1+r (n-1)


an= 3+3. (n-1)=3+3n-3=3n 


Geométricas: es cuando cada término se obtiene a partir del anterior multiplicando siempre por un mismo número. La razón entre cada término y el anterior es constante.

Para calcular la razón :  razón←q= an+1
                                              an
                                                                                          n-1
El término general puede expresarse como: an=a1.q
                                                                             
                                                                                 n
Para sumar los primeros n términos: sn=a1.(q -1)

Ejemplo: 2,4,8,16,32